Jan Willem de Groot

Archive for the ‘Fascinaties’ Category

Leonardo da Vinci was een heel getalenteerd man die veel artistiek werk maakte en zich in verschillende richtingen ontwikkelde. Hij was zelf geen wiskundige, maar wel heel natuurwetenschappelijke georiënteerd. Hij deed veel studies in de vorm van tekeningen van mechanische apparaten en het menselijk lichaam.

Omstreeks 1497 maakte hij voor Luca Pacioli tekeningen van regelmatige veelvlakken, als illustraties voor een boek met de naam “Over de Goddelijke Verhoudingen” (De Divina Proportione). Hij tekende de figuren als ‘ solids’ en als ‘lege’ modellen die als het ware gemaakt zijn van houten raamwerken, waar je dus doorheen kan kijken. Bij Pacioli krijgt hij ook lessen in de wiskunde en zijn tekeningen zijn mooie studies van het fenomeen van de regelmatige veelvlakken én het perspectivisch weergeven daarvan.

Hij hangt ze in de tekeningen op aan een touw, om te laten zien dat echte objecten zijn die in de ruimte kunnen bungelen. Dat is een komische draai omdat hij wel echte wiskundige dingen tekent, die van zichzelf abstract zijn. Maar je kunt ze zo wel goed bekijken en bestuderen, als ze echt voor je neus zouden ronddraaien. En in die tijd was het echt nieuw om deze platonische en archimedische lichamen op deze manier te construeren.

Da Vinci tekende een hele serie van deze objecten, zo’n 60 verschillende. De veelvlakken zijn soms niet voor de hand liggend, maar het zijn wel boeiende studies van hoe objecten eruit zien als je regelmatige veelhoeken combineert tot veelvlakken of ruimtefiguren. Ook complexe stervormige figuren tekent hij helemaal uit.

Op de foto staat een houten model van een verhoogde dodecaëder (een 60-vlak), afbeelding 32 uit de Divina Proportione, op een tentoonstelling met nagebouwde modellen van Da Vinci, in de Galleria Michelanngiolo in Florence.

Een wiel van een motor is een torus. Een motorfiets heeft er twee. Afhankelijk van hoe je het aluminium gietwiel en de rubberen band samenvoegt of niet, is het een torus met negen gaten (wiel met of zonder band) of een (gewone) torus (alleen de band).

Het detail van het gat voor het ventiel heb ik even niet meegerekend.

Je kunt vervolgens vijf vlakken van spiegeling aanbrengen. Dat dat het geval is, is overigens niet zo speciaal. In het dagelijke leven weet je dat eigenlijk direct wel. We zijn zo subiet hierop ingesteld, dat we de symmetrieën direct ervaren. We zien ook snel de afwijkingen die een mogelijke symmetrie teniet doen.

Nu hebben we het hier over de wielen van een BMW K75 (niet toevallig). Bij aluminium gietwielen is het over het algemeen mogelijk de spaakconstructie vrij te kiezen. Voor de balans in het wiel is die constructie altijd symmetrisch. Als we dit desbetreffende wiel nader beschouwen blijken er meer gaten in te zitten dan in eerste instantie zo op het oog waarneembaar.

Het kale wiel heeft nog extra vier montagegaten. Voor de symmetrieassen, de lijnen van de symmetrievlakken bij dit driedimensionale object, maakt dat niet uit.